Die Osterrechnung von Carl Friedrich Gauß

Julianischer Kalender	Gregorianischer Kalender	Bedeutung
a = Jahr mod 19	a = Jahr mod 19	Mondparameter
b = Jahr mod 4	b = Jahr mod 4
c = Jahr mod 7	c = Jahr mod 7
	k = Jahr div 100
	p = (8k + 13) div 25
	q = k div 4
M = 15	M = (15 + k - p - q) mod 30
d = (19a + M) mod 30	d = (19a + M) mod 30 Falls d=29 oder d=28 und a > 10, dann d = d - 1   (1)	Keim für den ersten Vollmond im Frühling
om = 21 + d	om = 21 + d	Tag des Ostermonds, des. ersten Frühlingsvollmonds, gezählt ab 1. März
N = 6	N = (4 + k - q) mod 7
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7	e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7	Entfernung des Ostersonntags von der Ostergrenze (d.i. vom Ostermond)
os = 22 + d + e (Die Bedingungen für die Korrektur treten hier nicht auf.)	os = 22 + d + e Wikipedia hat hier die Ausnahmen:   (2) (3) Falls d=28 und e=6 und a>10, dann os=49 Falls d=29 und e=6, dann os=50	Tag des Ostersonntags, gezählt ab 1. März

Anmerkungen:

(1) Die Korrektur ist entlehnt aus dem "Astronomischen Osterrechner" von Nikolaus Alexander Bär, siehe im Quelltext einer der beiden im Literaturverzeichnis angegebenen HTML-Seiten, dort jeweils im Javascript-Code in der "function EastCalc".
Bär hatte die Korrektur bei der Berechnung des zyklischen Ostermonds "luna", den ich hier "om" nenne; ich bringe die entsprechende Korrektur gleich bei der Variablen "d" an.

(2) Dank der Korrektur von d (s. Anm. (1)) erübrigt sich die Korrektur des Ostersonntags, denn:
War vorher d=29 und e=6, dann ergaben sich
om = 21 + d = 21 + 29 = 50 → 19. April,
os = 22 + d + e = 22 + 29 + 6 = 57 → 26. April,
letzteres wurde korrigiert zu os = 50 → 19. April.
Nunmehr wird korrgiert zu d = 28 und damit e = 0, woraus sich ergeben
om = 21 + d = 21 + 28 = 49 → 18. April,
os = 22 + d + e = 22 + 28 + 0 = 50 → 19. April!
War vorher d=28 und e=6 (und a > 10), dann ergaben sich
om = 21 + d = 21 + 28 = 49 → 18. April,
os = 22 + d + e = 22 + 28 + 6 = 56 → 25. April,
letzteres wurde korrigiert zu os = 49 → 18. April.
Nunmehr wird korrgiert zu d = 27 und damit e = 0, woraus sich ergeben
om = 21 + d = 21 + 27 = 48 → 17. April,
os = 22 + d + e = 22 + 27 + 0 = 49 → 18. April!

(3) Mit der angegebenen Regel für d=28 sind nicht alle liturgisch erforderlichen Ausnahmefälle abgedeckt. Dies betrifft die "Ausnahmeregel Nr.2" in [Voigt 146]. Die Gaußsche Osterformel versagt daher in den Jahren 1954, 2049, 3165, 3260, 3317, 4080 und 4099 [Voigt 148]. Dies kann mit dem Vergleichsrechner für den Gregorianischen Kalender leicht nachgeprüft werden: Der Ostermond liegt in diesen Jahren bei Gauß auf dem Tag, auf dem bei den Vergleichsalgorithmen (Donald Knuth und Claus Tøndering) der Ostersonntag liegt (18. April), und Ostersonntag ist bei Gauß eine Woche später, am 25. April.
Natürlich gibt es solche "Ausrutscher" auch in der Zeit bis 1582, wenn man die Algorithmen auch für diese Zeiten vergleichen möchte, aber das hat noch niemand nachgerechnet, weil es keine praktische Bedeutung hat.

Implementierung in einem Tabellenkalkulatiosnprogramm

(Hier Microsoft Excel 2007, deutschsprachige Lizenz)

Ich zeige hier nur die Lösung für den Julianischen Kalender.

Feld	Inhalt	Bedeutung
A1	'Jahr	Jahreszahl
B1	'a	Mondparameter
C1	'b
D1	'c
E1	'd	Keim für den ersten Vollmond im Frühling
F1	'e	Entfernung des Ostersonntags vom Ostermond
G1	'om	Tag des Ostermonds, gezählt ab 1. März
H1	'os	Tag des Ostersonntags, gezählt ab 1. März
A2	532	Startjahr
B2	=REST(A2;19)
C2	=REST(A2;4)
D2	=REST(A2;7)
E2	=REST((19*B2+15);30)
F2	=REST((2*C2+4*D2+6*E2+6);7)
G2	=21+E2
H2	=22+E2+F2
A3	=A2+1
B3:H3	Kopie von B2:H2
A4:H96	Kopie von A3:H3

Ausgabe

  A	B	C	D	E	F	G	H
Jahr	a	b	c	d	e	om	os
 532	0	0	0	15	5	36	42
 533	1	1	1	4	1	25	27
 534	2	2	2	23	2	44	47
 535	3	3	3	12	5	33	39
 536	4	0	4	1	0	22	23
 537	5	1	5	20	1	41	43
 538	6	2	6	9	4	30	35
 539	7	3	0	28	5	49	55
 540	8	0	1	17	0	38	39
 541	9	1	2	6	3	27	31
 542	10	2	3	25	4	46	51
 543	11	3	4	14	0	35	36
 544	12	0	5	3	2	24	27
 545	13	1	6	22	3	43	47
 546	14	2	0	11	6	32	39
 547	15	3	1	0	2	21	24
 548	16	0	2	19	2	40	43
 549	17	1	3	8	5	29	35
 550	18	2	4	27	6	48	55
 ...

	function DaynumberToDayAndMonth( daynumber ) {
		// assert( daynumber > 0 && daynumber < 62 );
		if ( daynumber <= 31 ) {
			this.dd = daynumber;
			this.mm = 3;
		} else {
			this.dd = daynumber - 31;
			this.mm = 4;
		}
		return this;
	}
	
	function div( a, b ) { // integer division
		return floor( a / b );
	}
	
	function CFrGaussGregorianEasterTableLine( j ) {
		// assert( j >= 0 && j <= 4999 );
		var k = div( j, 100 );
		var p = div( 8 * k + 13, 25 );
		var q = div( k, 4 );
		var M = ( 15 + k - p - q ) % 30;
		this.g_d = ( 19 * this.g_a + M ) % 30;
		if ( this.g_d == 29  || this.g_g == 28 && this.g_a > 10 ) {
			this.g_d -- ;
		}
		var N = ( 4 + k - q ) % 7;
		this.g_e = ( 2 * this.g_b + 4 * this.g_c + 6 * this.g_d + N ) % 7;
		return this;
	}

	function CFrGaussJulianEasterTableLine( j ) {
		// assert( j >= 0 && j <= 4999 );
		const M = 15;
		this.g_d = (( 19 * this.g_a + M ) % 30 );
		const N = 6;
		this.g_e = ( 2 * this.g_b + 4 * this.g_c + 6 * this.g_d + N ) % 7;
		return this;
	}

	function CFrGaussEasterTableLine( j, cal ) {
		// assert( j >= 0 && j <= 4999 );
		this.g_j = j;
		this.g_a = j % 19;
		this.g_b = j % 4;
		this.g_c = j % 7;
		switch ( cal ) {
			case 'J': // Julian calendar
			    ee = CFrGaussJulianEasterTableLine( j );
				break;
			case 'G': // Gregorian calendar
			    ee = CFrGaussGregorianEasterTableLine( j );
				break;
			case 'A': // Occidental calendar ("Abendländischer Kalender")
			    ee = ( j <= 1582 ) 
				   ? CFrGaussJulianEasterTableLine( j )
				   : CFrGaussGregorianEasterTableLine( j );
				break;
		}
		this.g_om = 21 + this.g_d;
		this.g_os = 22 + this.g_d + this.g_e;
		return this;
	}

	function CFrGaussEasterTable( annus, times, cal, outputformatter ) {
		// assert( annus >= 0 && annus <= 4996 );
		// assert( times >= 4 && times <= 532 );
		for ( let j = annus; j < annus + times; j++ ) {
			var line = CFrGaussEasterTableLine( j, cal );
			outputformatter( line );
		}
	}